力学・波動

波の性質

振動と周期

振動数

媒質が１秒間（単位時間）に振動する回数

周期

媒質が１回振動するのにかかる時間

振動数 \( f \) と周期 \( T \) の間には \( T = \dfrac{1}{f} \) という関係がある。

波長と波の速さと振動数

• \( v = f \lambda \)
• \( vT = \lambda \)

\(\begin{pmatrix}
\lambda: & \text{波長（} m \text{）} \\
f: & \text{振動数（} Hz \text{）} \\
v: & \text{速さ（} m/s \text{）}\\
T: & \text{周期（} s \text{）}\\
\end{pmatrix}\)

波の高さ

原点における波の高さ（変位）

\( y = A \sin{\dfrac{2\pi}{T}}t \)

位置 \( x \) には \( \dfrac{x}{v} \) 秒遅れて原点（ \( x = 0 \) ）の波が届く

\( y = A \sin{\dfrac{2\pi}{T}}\left(t\ -\ \dfrac{x}{v} \right) \)

変位と速度と加速度

等加速度運動

• \( v = v_0 + at \)
• \( x = v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2 \)
• \( v^2\ -\ v_0^2 = 2ax \)

\(\begin{pmatrix}
v: & \text{速度（} m/s \text{）} \\
a: & \text{加速度（} m/s^2 \text{）} \\
v_0: & \text{初速度（} m/s \text{）} \\
x: & \text{変位（} m \text{）}\\
t: & \text{時間（} s \text{）}\\
\end{pmatrix}\)

力のつり合い

\(1N \text{(ニュートン)} = 1kg \cdot m/s^2 \)

\( 1N \) の力は \( 1kg \) の物体に \(1 m/s^2 \) の加速度を生じさせる。
重力の大きさは物体の質量 \( m \) に重力加速度 \( g \) をかけた \( mg [N] \) である。

弾性力 \(\ F[N] = kx\quad(k [N m]\ \text{または}\ [N mm]: \text{ばね定数、} x [m]\ \text{または}\ [mm]:\ \text{変形量 (自然の長さからの伸び)}\ )\)

合成ばね定数

並列

\( K = k_1 + k_2 + k_3 + \cdots \)

直列

\( \dfrac{1}{K} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} + \dfrac{1}{k_3} + \cdots \)

圧力 \(\displaystyle P [N/m^2 \text{または} Pa \text{(パスカル)}] = \dfrac{F [N]}{S[m^2]}\)

浮力 \(\ F [N] = \rho V g \quad (\ \rho [kg/m^3]:\ \text{流体の密度、} V [m^3]: \text{物体の体積 (押しのけた流体の体積)、} g [m/s^2]: \text{重力加速度}\ ) \)

最大摩擦力 \( F_{max} [N] = \mu N \)、動摩擦力 \( F[N] = \mu^\prime N \) \(\quad ( \mu: \text{静止摩擦係数、} \mu^\prime: \text{動摩擦係数、} N = mg [N]: \text{垂直抗力} ) \)

力のモーメント \( M [N \cdot m] = F \times L \quad( F [N]: \text{力、} L [m]: \text{腕の長さ} ) \)

運動方程式 \( F [N] = ma \quad (m [kg]: \text{物体の質量、} a [m/s^2]: \text{物体に生じる加速度} ) \)

力 \( F \) が働くと、質量 \( m \) の物体は加速度 \( a \) で運動する。

仕事とエネルギー

仕事 \( W[J \text{または} N \cdot m] = F \times x \quad (\ F[N]: \text{力、} x[m]: \text{移動距離} \ ) \)

物体に働く力 \( F \) が物体を距離 \( x \) だけ移動させたとき、その力は \( Fx \) の仕事をする。

エネルギー

その物体がどれくらいの仕事できるか

運動エネルギー \( K[J] = \dfrac{1}{2} m v^2 \)

位置エネルギー

重力による位置エネルギー \( U[J] = mgh \)

弾性エネルギー \( U[J] = \dfrac{1}{2}kx^2 \)

ばね定数 \( k \) のバネが自然長から \( x \) だけ伸びている、あるいは縮んでいるとき

力学的エネルギー保存則: (運動エネルギー) + (重力による位置エネルギー) + (弾性エネルギー) = (一定)

運動量と力積

運動量 \( p [kg \cdot m/s] = m \times v \quad ( m[kg]: \text{質量、} v[m/s]: \text{速度} ) \)

運動の激しさ

力積 \( I [N \cdot s \text{または} kg \cdot m/s] = F \times t \quad ( F[N]: \text{物体に作用する力、} t[s]: \text{力が作用した時間} ) \)

「力積は運動量の変化量」
質量 \( m \) の物体が \( t \) 秒間だけ力 \( F \) を受けて、速度が \( v \) から \( v^\prime \) に変化したとき、
この物質の加速度は \(\quad a = \dfrac{v^\prime\ -\ v}{t} \)
よって、物体の運動方程式は \(\quad F = ma = m \dfrac{v^\prime\ -\ v}{t} \)
したがって、\(\quad Ft = mv^\prime\ -\ mv \)

運動量保存則 \( m_A v_A + m_B v_B = m_A {v_A}^\prime + m_B {v_B}^\prime \)

作用・反作用の力のみ働く物体の運動量の和は保存される。(摩擦力が働いても適用できることがある \( \Leftrightarrow \) 摩擦によって熱エネルギーとして失われることで必ずしもエネルギーは保存されない)
\(\begin{align}
& \text{物体} A \text{の運動方程式：} &F &= m_A \dfrac{v_A^\prime\ -\ v_A}{t} \\
& \text{物体} B \text{の運動方程式：} &-F &= m_B \dfrac{v_B^\prime\ -\ v_B}{t} \\
\end{align}\)
\( \qquad \Longrightarrow \quad m_A \dfrac{v_A^\prime\ -\ v_A}{t} = – m_B \dfrac{v_B^\prime \ -\ v_B }{t} \quad \Longrightarrow \quad m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A^\prime\ + m_B v_B^\prime \)

反発係数 \( e\ =\ \dfrac{ \text{衝突後の物体の速さ} }{ \text{衝突前の物体の速さ} }\ =\ ‐\ \dfrac{ \text{衝突後の物体の速度} }{ \text{衝突前の物体の速度} } \qquad (0 \leqq e \leqq 1) \)

ともに運動している物体同士が衝突する場合
\( e\ =\ -\ \dfrac{v_A^\prime\ -\ v_B^\prime}{v_A\ -\ v_B} \)

慣性力が働く運動

慣性力 \( F[N] = m a \)

観測者が加速度 \( a \) で運動しているとき、質量 \( m \) の物体には観測者の加速度とは逆向きに \( ma[N] \) の慣性力が働く。
実際には力は働いていないにもかかわらず、自身の視点が加速しているために感じる「見かけの力 (偽の力)」

円運動

等速円運動 \( v[m/s] = r \omega,\quad a[m/s^2] = v \omega = r {\omega}^2 = \dfrac{v^2}{r} \quad (\omega[rad/s]: \text{角速度}) \)

向心力 \( F[N] = ma = m v \omega = m r {\omega}^2 = m \dfrac{v^2}{r}\)

遠心力 \( F[N] = m \dfrac{v^2}{r} \)

速さ \( v \)、半径 \( r \) で円運動している物体には \( m \dfrac{v^2}{r} の遠心力が働く (ただし、物体と一緒に働く人から見たとき) \)

万有引力

ケプラーの法則

第１法則

惑星は太陽を１つの商店とする楕円軌道で動く。

第２法則

惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に描く面積は一定である。（面積速度一定の法則）
\(\qquad \dfrac{1}{2} r v = \dfrac{1}{2} R V \)

第３法則

惑星の公転周期の２乗は軌道の長半径の３乗に比例する。
\(\qquad \dfrac{T^2}{a^3} = k = \text{(一定) \qquad （} k \text{は比例定数）}\)

万有引力の法則

質量 \(m_1\)、\(m_2\) の２物体が \( r \) だけ離れた位置にあるとき、２物体の間には
\(\qquad F[N] = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2} \qquad \)（\( G \) は万有引力定数： \( 6.67 \times 10^{-11} N \cdot m^2 / kg^2 \)）
の万有引力が働く。

万有引力による位置エネルギー

質量 \( m \) の物体が質量 \( M \) の物体から距離 \( r \) の位置にあるとき、この物体が持つ万有引力による位置エネルギー \( U [J] \) は
\( \qquad U[J]\ =\ -\ G \dfrac{mM}{r} \qquad \) （ただし、無限遠を基準とする）

単振動

単振動とは

変異に比例した元に戻ろうとする力（復元力）、すなわち \(\ F = −Kx\ \) の形の力が働く運動

単振動の変位、速度、加速度

\( \begin{align}
&\text{変位：}& &x = A \sin{\omega t}& \\
&\text{速度：}& &v = A \omega \cos{\omega t}& \\
&\text{加速度：}& &a = -A \omega^2 \sin{\omega t} = – \omega^2x& \\
\end{align} \)

単振動の運動方程式

\( \begin{align}
&\text{単振動の運動方程式}& &-Kx = ma = m(- \omega^2 x)& \\
&\text{\qquad\qquad 角振動数}& &\quad \omega = \sqrt{\dfrac{K}{m}}& \\
&\text{\qquad\qquad 周期}& &\quad T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{K}}&
\end{align} \)

単振動の力学的エネルギー保存則

\( \dfrac{1}{2} mv^2 + \dfrac{1}{2} kx^2 = \text{一定}\qquad \) （\( x \) は力の釣り合いの位置からの距離）
\( \qquad \)※ \( x \) が 自然長 からの伸びの場合、\(\qquad mgh + \dfrac{1}{2} mv^2 + \dfrac{1}{2} kx^2 = (一定) \)

振り子の単振動（単振り子）

振れる角度の小さい（横方向のみの振動とみなせる）半径 \( l \) の振り子の運動は
\( \begin{align}
\qquad &\text{復元力：}& &- \dfrac{mg}{l} x& \\
&\text{周期：}& &2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}& \\
\end{align} \)

の単振動とみなせる。